摘要：没有比较就没有鉴别，数学是抽象思维的花朵。其中不乏相似之花。只有通过对比研究，才能找到异同而达到透彻掌握。

      关键词：数学  对比研究

      对比研究的内容应选取类似易混淆的知识。例：有一道题是这样的：有一个平形四边形，一条边是5厘米，两条高分别是4厘米和6厘米，问面积几何？这道题可以预见有两种答案，正好用来对比研究。一种是6×5=30厘米2，一种是4×5=20厘米2，这说明学生都记住了平行四边形的面积是“底×高”。这又有两种可能，一种或原理推论得出的解法，一种是任意选一种碰运气。当同学们的答案出来时，果然是这样。老师将它写在黑板上，问两种都是底乘高的结果，两种都正确吗？恰好有人说“都正确”。老师叫同学们评判这种说法正确吗？为什么？有人发言了“不正确，因为在同一个平行四边形中，无论取哪一组底×高，其面积都应相等，不应出现两种答案”。老师予以肯定，那么哪一种正确呢？这时就需对比研究了。在老师启发下，通过讨论形成共识：5×6=30（正确），5×4=20（错误）。推理如下：作一个平行四边形，设一个底边为5，高为4，再选邻边为底，作高设为6，这样第二组中的高与底（或底的部份）及邻边（第一组的底边5或对边，也应是5），就组成了一个直角三角形。这样，斜边5＜高6，而在直角三角形中，斜边是＞直角边的，所以这样的平行四边形是作不出来的。所以此题不应取5×4。既排除，那就应取5×6了。再从取5×6的作图来说，一切都讲得通了。这样将两种推论一对比，正误就清楚了。这就是对比研究的作用。又例：有人对传统教法与素质教育的方法分别进行了尝试，再把两者加以对比分析，从而发现优劣。我们知道，学以致用是激发兴趣培养能力的有效途径，传统教法是把野外情境用口头描述，简笔绘图来间接展示。然后采取注入式一一将方法教给学生，学生只是被动地接收知识，兴趣的浓度和培养的能力都是很低下的。如在黑板上画一座山，问怎样测出山的垂直高度？山不是笔直的，是缓坡到山顶的，就是用常规的测量仪一台阶一台阶地测量，也要花费一天时间，而且在崎岖林密的山上测量是十分困难的。怎样进行简便易行的测量呢？老师为了开阔学生视野，增长见识，丰富方法储存。向学生介绍了几种方法。例如（一）有一块平面镜放在山前适当的平地上，人站在镜前面，使山、镜、人在一条水平直线上。距离以人眼能从镜中看到山顶为宜。这时由于山顶到平面镜再到人眼，由于光的入射角等于反射角，这就形成 两个相似的直 角三角形。其中两个直角三角形的高分别是山顶到山底和人高，另两条水平直角边分别是山底到镜面中心和人脚跟到镜面中心。而两条斜边分别是山顶到镜面的射线和人眼到镜面的视线。这样就可以在黑板上画出示意图，根据两个三角形相似，对应线段成比例的性质，列出比例式，标出可以量到的已知数，就可以求出山高。这样讲解，学生也懂，但只是纸上谈兵，仅储存了一种方法而已。这是一种尝试，另一种方法是安排时间把学生带到野外，面对一座真实的山。每个学生事前都准备一面镜子，实际进行操作。怎样把镜子摆在地上移到合适的位置才能恰好从镜子里看到山顶，这就不是纸上谈兵，而是实战演习。在“实战演习中”发现问题：即设山高为未知数，人高，脚跟到镜面，镜面到山底中心，这三条线段都是能实际量出数据是已知数，但从镜面到山底中心，大部份被山体掩盖怎么量得到呢？所以这种方法在实际生活中不可用。如果山高是一根电杆，这种方法完全可用，但这是山而不是电杆。在教室里看老师画示意图讲解时不易发现，而在野外实践时就发现了。这就是实践出真知的道理。这也正是理论联系实际的素质教育原则的体现。在这个过程中，学生的兴趣始终旺盛，热情始终不减，能力得到了培养，把两种方法都尝试后，将其进行对比研究，就能得出，只有素质教育才是激发兴趣培养能力的有效途径。那么怎样才能在不作繁重的仪器测量，即不去山上实际测量，就能测算出山高还有别的方法吗？如果有，实际尝试一下又作对比研究，发现优势。例：老师发动学生开动脑筋想办法，他们八仙过海各显神通，有学生的办法是：在适当的较远距离，用手机拍摄下整个的山，如果用相机拍摄则要翻出照片，量出照片上的山高，山下向左或右一侧的地平线到山尾。为什么只量一侧，这样在实际量山下距离时也只量一侧，可省一半时间。从山顶到山侧尾的连线，又形成了一个直角三角形，由于照片是实物山按比例缩小的，实际的直角三角形（如前面讲过的）与照片上的直角三角形相似。根据两个三角形相似，对应线段成正比的性质，只需实际量出山下一侧到山尾的地平线的长度，列出比例式就可以求出山高了。这就避免了要往山底中心不可能量的弊端。把这次的测量计算方法与前一次的方法相比较，就得出了本次方法的优点了。但这位学生的解释又遭到了反驳。说这方法与前面的方法实质上是一样的。同样存在从山底中心到一侧山尾因山体复盖而不易量出这一看法又是他通过比较得出的。这又是比较法的好处。通过比较又使同学们再寻别的办法。这又是对比研究法的作用。又例，当初中学生学了二元一次方程组后，收集一些民间趣题，分别用算术方法和代数方法来解，再比较研究哪种方法更优越。如：100个和尚吃一百个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一个，大小和尚各几何？这类题就就可以用算术方法和代数方法来解。这样，学生不但兴致浓厚，而且思维活跃，培养了能力（理解能力，运用能力）。

总之，对比研究的范围很广，有待在运用中探索。

      参考文献：

      《素质教育论》杭州大学出版社（1998）。