□ 贵州省纳雍县龙场中学   桂慧娇

       摘要：二次函数与等腰三角形的结合题型是初中阶段的重要考点，是二次函数的综合题型之一。此题型对于初中阶段的学生而言难度系数偏高，考试中遇到的可能性也较大。因此，本文在研究过程中运用分类讨论的思想剖析，并结合实例展示，使学生掌握此类题型的有效解法，提高学生的发散性数学思维能力和解决数学问题的能力。
       关键词：二次函数与等腰三角形相结合；分类讨论的思想；有效解法
       一、二次函数的基础知识
       1.一般地，如果两个变量y与x之间的关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，并且a=0），那么就称y是x的二次函数。一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标为

       顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）
2.求二次函数的解析式
待定系数法 设：
一般式：y=ax2+bx+c（a=0），已知三点；
顶点式：y=a(x-h)2+k（a=0）已知顶点坐标；
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a=0）已知抛物线与轴的两个交点坐标。
       二、等腰三角形的性质
       1.等腰三角形两底角相等。
2.等腰三角形“三线合一”的定理。
三、探究等腰三角形的一般思路在探究等腰三角形的存在性问题时，一般要分类讨论。
若 ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC ②BA=BC
  ③CA=CB三种情况。
解这种题型通常是几何法和代数法相结合
       1.几何法
       “两圆一线作图法找第三点”
       第一，假设结论成立；
       第二，找动点的位置：当已知边不确定是等腰三角形的腰或底时，那么分两种情况讨论；分类作图：
       （1）当已知边为腰时，分别以已知边的两个端点为圆心，以已知边的长为半径画圆，若找与已知边围成等腰三角形的动点在坐标轴上或者在抛物线上时，所求点即为两圆与坐标抽或者与抛物线的交点，除已知边的两端点外。
       （2）当已知边为底边时，作已知边的垂直平分线，若找与已知边围成等腰三角形的动点在坐标轴上或者在抛物线上，那么已知边的垂直平分线与坐标轴或者抛物线的交点即为所求点。
上面的方法结合起来称为“两圆一线”，能找全所有符合条件的点，这种作图法与分类思想相结合，避免了找漏点的情况。
       2.代数法
代数法通常指与计算有关的方法，在这里，找出符合条件的动点以后，通常还需要运用勾股定理或者构造相似三角形求点的坐标。
因此，解二次函数与等腰三角形结合题型时，几何法与代数法相结合是密不可分的。
       四、例题展示
       如图所示，已知：抛物线y=-x2+2x+1-m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，C点的坐标为（0，3），抛物线的顶点为D点，连接CD两点，抛物线的对称轴与X轴交于点E。
      （1）求m的值；和二次函数的解析式。
      （2）是否存在一点P，使得 PDC是等腰三角形，且点P在抛物线对称轴的右侧，若存在，求满足条件的P点的坐标；若不存在，说明理由。



分析：
       待定系数法求抛物线的解析式：
       1.将点C(0、3）的坐标代入y=-x2+2x+1-m点中，可解得m点的值。
       2.将m的值代入y=-x2+2x+1-m中，即得二次函数的解析式。
       利用分类讨论思想解题
       当 PDC是等腰三角形时，求点P的坐标：
      1.点P的位置:在抛物线上；
     2.分析：两圆一线作图
设，点P(x，y)，分别以C、D两点为圆心，以CD长为半径画圆，又作CD线段的垂直平分线，两圆与抛物线有二个交点，垂直平分线也与抛物线也有二个交点，四个点都分别能与已知两点C、D围成等腰三角形，又有P点在抛物线对称轴的右侧，所以满足条件的P点只有两个位置，故分二个情况讨论：
   （i）如果PD=CD，即得点C和点P关于直线x=1对称；
   （ii）如果PC=PD由勾股定理，并结合点P在抛物线上，列方程求解。
详解：
（1）根据题意，点C（0，3）在抛物线y=-x2+2x+1-m上
1-m=3 解得m=-2
抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
（2）存在.设P(x，y)
由题意得，当 PDC是等腰三角形时，又有点P在抛物线对称轴的右侧，可知PC=CD，只有PD=CD或PC=PD两种情况。又抛物线的对称轴是直线X=1，顶点D（1，4）
（i）如果PC=CD，即得点C和点P关于直线X=1对称，
所以，点P的坐标为（2，3)
（ii）如果PC=PD，由两点间的距离公式，得x2+(y-3)2=(x-1)2+(y-4)2
即使X+Y=4
又由点P在抛物线y=-x2+2x+3上，即得-x2+2x+3+x=4



       五、总结
      综上例题可见，运用分类讨论的思想解决二次函数与等腰三角形结合题型时应注意：
     第一，学生需要熟练掌握二次函数和等腰三角形的基础理论知识，例如求函数解析式算法、对称轴及顶点坐标公式算法以及等腰三角形的性质等内容。
    第二，在解题时学生还应熟练掌握勾股定理的运用与相似三角的判定定理以及两圆一线找等腰三角形作图方法等。
    第三，还要注意题目中设置的限定条件，如上述例题中找到能与已知线段围成等腰三角形的点有四个，但题目中强调该点在抛物线的对称抽的右侧，最终，满足条件的点只有两个。
    在对此类题型的剖析过程中，教师应传授学生分类讨论的思想，并且运用分类讨论的思想，分析问题做到全面细致，将复杂的问题分类细化达到降低题目难度的目的；同时，还要提醒学生应注意题目中的限定条件，避免画 蛇添足，造成不必要的错误，从而真正提高学生解决问题的能力。
     六、结束语
     总的来说，二次函数与等腰三角形的结合题型，是对学生的观察能力，分析能力，归纳能力的考察，同时也对学生的发散性数学思维能力以及数学思考程度和延伸拓展的能力提出了更高的要求。所以，在教学过程中，教师应引导学生将题型进行归类，进行探究，总结出一些有效解法，这样就能使复杂的问题变得简单化，从而提高学生的数学解题能力，增强学生学习数学的兴趣。