□ 四川省犍为第一中学  官钊民

摘要：本文从现行的中学教学中，介绍了微积分的基础内容，并以具体的几个例子，讨论微积分在函数、速度、不等式、曲线的斜率、定义和计算面积、体积等方面的简单应用，展现其渗透在中学教学中的必要性和实用性。

关键词：微积分，导数，积分，中学教学

引言

微积分，是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。作为新课标中的一个重要内容，微积分在中学中主要介绍了极限、微分学、积分学及其简单应用。也正是因为这样，本来作为高等数学中才深入研究的内容微积分渗透到高中的数学学习中。

一、渗透微积分的必要性

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，原来的欧式几何已经不够用了，或者说常量数学已经满足不了人们的需求，正如一些线性问题，我们可以用常量数学得到解决，但是，更多的线性问题呢？非线性问题呢？怎么来处理呢？这时候，我们就可以用微积分来处理，采用以直代曲、以不变代变及逼近的思想方法来处理，这样问题就简单很多了。

也正是因为这样，随着时代的发展与进步，社会需要促使人们更加重视应用数学，在新课标的引导下，在现行的高中教学中，我们碰到了欧式几何不能解决的问题，例如求曲边梯形的面积，变速运动的路程等等，而这都需要我们进一步的学习新的思想方法、新的知识内容。

虽然，在初等数学里面，代数或者几何都充满着矛盾，如，欧式几何中，对点是这样定义的：点是没有部分的那种东西。但是，我们在作图的时候，都往往是用笔在纸上轻轻一点，但是此时怎么理解点是没有部分的呢？没有部分，应该说是不存在才对，但是，我们却在纸上留下了“东西”。再如，欧几里得提出：线是没有宽度的长度。而现在我们都知道，我们在教学中作图，也是用直尺在平面上一画，实际上，真的没有宽度吗？答案是否定的。但是在微积分中，它是变数的数学，它更富有哲学的辩证法的思想。因此，如果我们学习了微积分的初步知识，体会到此中的变与不变，那么在高中开设的哲学课程里面，我们能对辩证法的理解有了更深刻的体会和更高层次的理解。

在高中的物理教学中，我们常常提到变速运动、高台跳水、瞬时速度、变力做功等等，这些问题的解决如果能借助微积分的基础知识，我们是可以很快就能得到解决。

二、渗透微积分的实用性

微积分的基本理论和思想方法有着广泛的应用，在上述的讨论过程中，我们发现它不但对中学多个科目都起着重要的指导作用，起到居高临下和以简驭繁的作用，而且能对学生的世界观、人生观和价值观的正确认识有推动作用。下面，我们将通过例子来说明微积分在中学教学中不等式的证明、函数的增减性、求切线方程和求极大（小）、最大（小）值等等方面的应用。

1.不等式的证明

不等式的证明方法有多种多样，没有固定的解题规律和模式，而初等数学中常用的方法有数学归纳法、二次型法、基本不等式法、重要不等式法、恒等变形等等，往往需要学生有很强的技巧性，充分联想到吻合的方法去解决，但是，如果没想联想到恰当的方法来解的话，往往解答的同学就寥寥无几。但是，在高中阶段，应用微积分的极值判断法、函数增减性等相关知识，我们可以使解答过程大大简化，同时，需要的技巧性没有那么强。

2.函数的极大（小）值和最大（小）值

贯穿整个高中数学课程的二次函数、不等式和三角函数等内容都涉及求最大、最小值和极值问题，所用的方法是我们常见的判别式法、重要不等式和基本不等式、反函数法等等，但是这些方法都有一定的局限性，我们只有在学习了微积分的基本知识后，这些求极大（小）值和最大（小）值的问题就有了“克星”。

3.求切线方程

在初等数学中，我们求曲线在某点的切线方程时，常需要比较完善的条件才能顺利地进行，当只给出曲线方程和其中一个点的坐标，而没有其它的条件时，往往无法求解此曲线在该点的切线方程。但是求曲线的切线方程却是微积分的重要应用之一，用微积分求切线方程的关键在于求出切点及斜率，而斜率是根据导数的几何意义来求解，具体解法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为。

4.平面图形的面积

在初等数学中，我们都掌握了三角形、包含平行四边形、梯形的四边形以及n边形的面积求法，也知道了常见的不规则的图形我们都尽可能向三角形转化（通过分割或者补齐等等），但是对于曲边梯形的面积我们又当如何来处理呢？

在微积分中，我们通过在每个局部小范围内“以直代曲”（化归为计算矩形面积）和逼近的思想方法，采用以下步骤来完成：分割，近似代替，求和，最后取极限。而这个计算过程比较繁杂，掌握了微积分基本定理后，我们可以通过定积分来完成。

5.变速运动的路程

其实，在物理中，对于理想状态下的变速运动的路程，在高中课程中已经有很详细的处理办法，但是却有对应特殊条件下的方法限制，因此在解答过程中要充分考虑其运动状态及限制条件，而在学习了微积分基础知识后，我们能跳过那些繁琐的讨论，只需要简单的一些条件就可以顺利完成解答。

其实，利用微积分还可以处理恒等式的证明、推导（拟球体）体积（面积）公式、函数图象的描绘、平面解析几何和方程（三次以上）的根的分布及位置等等问题，可以说作用非常重要。而从上述的几个应用例子可以看出，利用微积分的思想方法和基础知识，大大简化了初等数学中的运算过程，深化了对初等数学中问题的认识，而且对提高学生思维、丰富知识、提高应用数学的能力等都有着巨大的推动作用。